\subsection{Свойства инвариантных систем}
		
Имеем систему:
\begin{equation}
\label{Sys_1} \left\{ \begin{array}{ll}
  x_{k+1}=A_k \cdot x_k+B_k\cdot u_k +w_k\\
  y_k =C_k\cdot x_k +v_k,\\
\end{array}\right.
\end{equation}
где ${\mathbb E} (w_k\cdot w_k')=M_k \geqslant 0,~{\mathbb E}(
v_k\cdot v_k')=N_k > 0.$ \\
\\
 Ранее мы предполагали, что матрицы $A_k,~C_k,~B_k,~M_k,~N_k$ при
разных $k=0,\ldots,n,$ вообще говоря, отличались. Теперь
предположим, что матрицы постоянные во все моменты времени
$k=0,\ldots,n,$ то есть $A_k=A,~B_k=B,~C_k=C,~M_k=M,~N_k=N.$ Таким
образом получаем систему:
\begin{equation}
\label{System_Main} \left\{ \begin{array}{ll}
  x_{k+1} = A \cdot x_k + B\cdot u_k + w_k\\
  y_k = C\cdot x_k + v_k, \\
\end{array}\right.
\end{equation}
где ${\mathbb E}( w_k\cdot w_k')=M \geqslant 0,~{\mathbb E}
(v_k\cdot v_k')=N > 0,~k=0,\ldots,n.$



\subsubsection{Управляемость, наблюдаемость и идентифицируемость}
Теперь введем несколько определений, которые понадобятся нам в
дальнейшем. Рассмотрим систему:
\begin{equation}
\label{System_with_w} \left\{ \begin{array}{ll}
  x_{k+1}=A \cdot x_k+B\cdot u_k\\
  y_k =C\cdot x_k,\\
\end{array}\right.
\end{equation}
где $k=0,\ldots,n.$ 

\noindent {\bf Управляемость}
\begin{df}
 Система называется управляемой, если для любого начального
 состояния $x_0$ существует последовательность управлений
 $u_k,~k=0,\ldots,n,$ что динамическая система (\ref{System_with_w})
 будет переведена в ноль в конечный момент времени, то есть $x_n=0.$
\end{df}
%
%Как видим определение не очень удобное для использования. Для
%определения управляемости приходится решать совсем не тривиальную
%задачу. Дадим другое определение и докажем их эквивалентность.

\begin{df}
Назовем $(A,B)$ управляемой парой, если матрица
$[B,AB,\ldots,A^{n-1}B]$  имеет полный ранг.
\end{df}

\begin{lemma}
Система (\ref{System_with_w}) будет вполне управляемой, если
$(A,B)$ будет управляемой парой.
\end{lemma}
 {\it Доказательство.}
 Рассмотрим систему (\ref{System_with_w}). Теперь выразим $x_n$
 через $x_0.$ Получим:
 \begin{align*}
    &x_n = A^nx_0 + Bu_{n-1}+\cdots+A^{n-1}Bu_0\\
    &x_n - A^nx_0 = [B,AB,\ldots,A^{n-1}B]\begin{pmatrix}
      u_{n-1} \\
      \vdots \\
      u_0 \\
    \end{pmatrix} \\
\end{align*}

Очевидно, что данная система будет иметь единственно решение, в
том и только в том случае, если матрица $[B,AB,\ldots,A^{n-1}B]$
будет иметь полный ранг. Таким образом лемма доказана. \\
\\
Теперь введем понятие наблюдаемости

\noindent {\bf Наблюдаемость}
\begin{df}
Система (\ref{System_with_w}) называется наблюдаемой, если по
изменениям выходного сигнала $y_0,\ldots,y_n$ можно получить его
начальное состояние $x_0.$
\end{df}

%Опять же не простым является применение определения, поступим
%следующим образом.

\begin{df}
Пара $(A,C)$ называется наблюдаемой, если пара $(A',C')$
управляема для системы:
\begin{equation*}
 \left\{ \begin{array}{ll}
  z_{k+1}=A' \cdot z_k+C'\cdot y_k\\
  u_k =B' \cdot z_k,\\
\end{array}\right.
\end{equation*}
где $k=0,\ldots,n.$
\end{df}

\begin{lemma}
Пусть пара $(A,C)$ наблюдаема и $Cx\to 0,$ тогда $x\to 0$
\end{lemma}

\noindent {\bf Идентифицируемость}
\begin{df}
Система называется идентифицируемой, если по измерениям координат
составляющих систему можно определить матрицу $A.$
\end{df}
\par Рассмотрим систему
$$
	x_{k + 1} = Ax_k + Bu_k
$$
\par Выразим все $x_k$ через $x_0$:
\begin{align*}
	x_1 &= Ax_0 + Bu_0
	\\
	x_2 &= A^2x_0 + ABu_0 + Bu_1
	\\
	\vdots&
	\\
	x_N &= A^Nx_0 + A^{N - 1} Bu_0 + \ldots + ABu_{N - 2} + Bu_{N - 1}
\end{align*}
\par Соберем все компоненты $x$ в матрицу:
\begin{equation*}
	(x_1, \ldots, x_N) = A(x_0, \ldots, A^{N - 1}x_0) + (Bu_0, ABu_0 + Bu_1, \ldots, 
	A^{N - 1} Bu_0 + \ldots + Bu_{N - 1})
\end{equation*}
\par Отсюда легко получается критерий идентифицируемости:
\begin{stm}
	Если матрица $[x_0, Ax_0, \ldots, A^{N - 1}x_0]$ имеет полный ранг, то она идентифицируема.
\end{stm}

\noindent {\bf Пример.} 
Рассмотрим систему
\begin{align*}
\left\{\begin{array} {ll}
x_{k+1}=A\cdot x_k + B\cdot u_k \\
y_k=C\cdot x_k, \\
\end{array}\right.
\end{align*}
где
$$
A = \begin{pmatrix}
  a_{11} & a_{12} \\
  a_{21} & a_{22} \\
\end{pmatrix}~~~~~
B = \begin{pmatrix}
  1  \\
  0  \\
\end{pmatrix}~~~~~
C = \begin{pmatrix}
  1 & 0 \\
\end{pmatrix}
$$
Определим является ли система управляемой, наблюдаемой и
идентифицируемой. Запишем выражение для матрицы $[AB,B]:$
\begin{equation*}
[AB,B] = \begin{bmatrix}
  a_{11} & 1 \\
  a_{21} & 0 \\
\end{bmatrix}
\end{equation*}
Очевидно, чтоб пара $(A,B)$ была управляемой, а следовательно и
система была управляемой, необходимо и достаточно, чтобы $a_{21}
\ne 0.$\\
\\
Теперь проверим на наблюдаемость, запишем соответствующую матрицу:
\begin{equation*}
[C',A'C'] = \begin{bmatrix}
  1 & a_{11} \\
  0 & a_{12} \\
\end{bmatrix}
\end{equation*}

Опять же легко видеть, что при $a_{12}\ne 0$ система наблюдаема и
наоборот при $a_{12}=0$ система не наблюдаема.\\
\\
Проверим на идентифицируемость:
\begin{equation*}
[x_0,Ax_0] = \begin{bmatrix}
  x_{10} & a_{11}x_{10}+a_{12}x_{20} \\
  x_{20} & a_{21}x_{10}+a_{22}x_{20} \\
\end{bmatrix}
\end{equation*}

Легко заметить, что при $x_{10}=x_{20}=0$ система не является
идентифицируемой. Предположим, что строки линейно зависимы, тогда
$\exists \lambda:~~Ax_0=\lambda x_0.$ Преобразуем это выражение и
получим $(A-\lambda I)x_0=0,$ где $x_0=\alpha r_1$  или
$x_0=\alpha r_2,$ где $r_1,r_2$ --- собственные вектора, а
$\lambda$
--- собственные значения матрицы $A.$ Таким образом, получили, что
при $x_0=\alpha r_1$  или $x_0=\alpha r_2,$ где $r_1,r_2$ ---
собственные вектора матрицы $A,$ a $\alpha \ne 0,$ система не
идентифицируема, в противном случае идентифицируема.\\
\\
\subsection{Сходимость фильтра Калмана}
\par Вспомним условия для задачи схемы <<мерим--шагаем>>:
\begin{gather}
	\label{Sys_2}
	\begin{cases}
		x_{k + 1} &= Ax_k + w_k
		\\
		y_k &= Cx_k + v_k
	\end{cases}
	\\
	\notag
	\D w_k = M, \; \D v_k = N > 0, \; \D x_0 = S, \; \E x_0 = \overline{x}_0, \;
	\E w_k = \E v_k = 0
\end{gather}
Для этой системы мы получили оценку
ошибки на каждом шаге:
\begin{equation}
	R_{k+1|k} = A_k\cdot (R_{k|k-1}-R_{k|k-1}\cdot C'_k\cdot(C_k\cdot
	R_{k|k-1}\cdot C'_k+N_k)^{-1}\cdot C_k\cdot R_{k|k-1} )\cdot
	A'_{k}+M_k.
\end{equation}

Воспользуемся свойством инвариантности системы, что значительно упростит вычисления.
\begin{stm}
\label{stm1} Предположим, что для системы (\ref{Sys_2}) выполнено:
$M_k=M,~N_k=N,~(A,C)$ --- наблюдаемая пара,
$(A,D)$ --- управляемая пара, где $M=D\cdot D'.$ Пусть также
выполнено $R_{0|-1} = S \geqslant 0,$ тогда при
$k\to\infty~~\exists!~R:~R_{k|k-1}\to R>0,$ где $R$ ---
алгебраическое решение уравнения Риккати:
\begin{equation}
R=A (R-R C'(C R C' + N)^{-1}CR)A' + M.
\end{equation}
\end{stm}

\begin{imp}
Пусть выполнены условия утверждения (\ref{stm1}), тогда
$R_{k|k}\to \overline R,$ где :
$$
{\overline R} = R-RC'(C'RC+N)^{-1}CR.
$$
\end{imp}
Для схемы <<шагаем--мерим>> справедливы аналогичные формулы:
\begin{gather}
	\begin{cases}
		R_{k + 1 \cp k + 1} = 
		\left( 
			(AR_{k \cp k}A^\T + M)^{-1} + C^\T N^{-1}C
		\right)^{-1}
		\\
		R_{0 \cp 0} = S
	\end{cases}
	\\
			\overline{R} =		\left( 
			(A\overline{R}A^\T + M)^{-1} + C^\T N^{-1}C
		\right)^{-1}; \quad R_{k \cp k} \goes \overline{R}
\end{gather}
\par На практике, если количество шагов $k$ мало, то честно вычисляют $R_{k \cp k - 1}$, а
при увеличении $k$ начинают пользоватся предельной $R$ (она вычисляется один раз!). При достаточно
больших $k$ можно использовать следующие формулы:
\begin{gather}
	\hat{x}_{k + 1 \cp k} = A \hat{x}_{k \cp k - 1} + ARC^\T(CRC^\T + N)^{-1}(y_k -
	 C\hat{x}_{k \cp k - 1}) \text{  (<<мерим--шагаем>>)}
	 \\
	 \hat{x}_{k + 1 \cp k + 1} = A\hat{x}_{k \cp k} + (A\overline{R}A^\T + M)C^\T
	 (C(A\overline{R}A^\T + M)C^\T + N)^{-1}(y_k - CA\hat{x}_{k \cp k})
\end{gather}

\subsection{Устойчивость фильтра Калмана}
Итак, имеем инвариантную систему без неопределенности. Тогда
система (\ref{System_Main}) преобразуется в систему:
\begin{equation}
\label{Sys_2} \left\{ \begin{array}{ll}
x_{k+1}=~A\cdot x_k \\
y_k=~C\cdot x_k
\end{array}\right.
\end{equation}
Введем следующие обозначения:
\begin{align*}
e_k =x_k - \hat x_{k|k-1} \\
\tilde e_k = x_k - \hat x_{k|k}
\end{align*}
\begin{df}
Динамическая система (\ref{Sys_2}) устойчивая, если $e_k\to
0,k\to\infty,~\forall e_0$
\end{df}

Запишем выражения для $e_{k+1}$ через параметры системы
(\ref{Sys_2}):
$$	e_{k+1} = x_{k+1}- \hat x_{k+1|k} = (A-ARC'(CRC'+N)^{-1}C)e_k	$$
Теперь обозначим $f_0=e_0'$ и запишем выражение для $f_{k+1}:$
$$	f_{k+1} =(A'-C'(CRC'+N)^{-1}CRA')f_k	$$
Это нам понадобится для доказательства следующей теоремы:
\begin{theorem}
	При выполнении всех условий утверждения (\ref{stm1}) $f_k\to 0,~k\to\infty.$
\end{theorem}
\begin{proof}
Для простоты введем следующие обозначения.
\begin{eqnarray*}
 \nonumber
  R &=& FRF'+M+L'NL \\
  F &=& A'+C'L \\
  L &=& -(CRC'+N)^{-1}CRA'
\end{eqnarray*}
Теперь формула для $f_{k+1}$ примет вид: $f_{k+1}=F\cdot f_k.$
Далее
\begin{eqnarray*}
 \nonumber
  &f'_{l+1}Rf_{l+1} - f'_lRf_l= f'_l(F'RF-R)f_l =
  -f'_l(M+L'NL)f_l.
\end{eqnarray*}
Теперь подставим $f_l=Ff_{l-1},$ потом $f_{l-1}=Ff_{l-2}$ и так
далее до $f_1=Ff_0,$ получим:
$$
f'_{l+1}Rf_{l+1} = f_0'Rf_0-\sum\limits_{l=0}^{k}f'_l(M+L'NL)f_l
$$
Учитывая, что $R>0,$ на сходимость последовательности $f_l'Rf_l,$
а следовательно и $f_l$ влияет сходимость ряда
$\sum\limits_{l=0}^{k}f'_l(M+L'NL)f_l.$ То есть последовательность
$f_l$ будет сходится только в том случае, если
\begin{eqnarray*}
&\lim\limits_{k\to\infty}f'_k(M+L'NL)f_k = 0,\mbox{ учитывая, что $L'NL>0,~M=DD'$ это возможно } \\
&\Leftrightarrow \lim\limits_{k\to\infty} D'f_k=0~\mbox{ и
}~\lim\limits_{k\to\infty} Lf_k=0
\end{eqnarray*}
Теперь учтем, что $f_{k+1}=Ff_k=(C'L+A')f_k.$ Домножив на $D'$
получаем:
$$
\begin{pmatrix}
  D'(f_{k+1}-\sum\limits_{i=1}^{n-1} C'Lf_{k+n-1-i}) \\
  \vdots \\
  D'(f_{k+1}-C'Lf_k) \\
  D'f_k \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
  D'(A')^{n-1} \\
  \vdots \\
  D'A' \\
  D' \\
\end{pmatrix}\cdot f_k
$$
теперь обратим внимание, что $D'f_{k+1}\to 0,~Lf_k\to 0,$ а
следовательно вся матрица
$$
\begin{pmatrix}
  D'(f_{k+1}-\sum\limits_{i=1}^{n-1} C'Lf_{k+n-1-i}) \\
  \vdots \\
  D'(f_{k+1}-C'Lf_k) \\
  D'f_k \\
\end{pmatrix} \to 0,
$$
при $k\to 0.$ Заметим $(A,D)$ --- управляемая пара, а
следовательно $(A',D')$ --- наблюдаемая пара, получим что матрица:
$$
\begin{pmatrix}
  D'(A')^{n-1} \\
  \vdots \\
  D'A' \\
  D' \\
\end{pmatrix}
$$
имеет полный ранг, а следовательно $f_k\to 0.$ Теорема доказана.\\
\end{proof}

 Покажем теперь, что $e_k\to 0.$ Заметим, что из теоремы следует,
что $F$ будет сжимающим оператором. А следовательно и $F'$
сжимающий оператор, таким образом $e_k\to 0,~k\to \infty.$ Теперь
получим рекуррентную формулу для ошибки $\tilde e_k,$ запишем:
\begin{eqnarray*}
\nonumber
e_k &=& x_k - \hat x_{k|k-1} \\
\tilde e_k &=& x_k - \hat x_{k|k}\\
x_k &=& Ax_{k-1} \\
\hat x_{k|k} &=& \hat x_{k|k-1}+RC(CRC'+N)^{-1}(y_k-C\hat
x_{k\k-1})
\end{eqnarray*}
подставим и получим:
\begin{align*}
\tilde e_k = (I-RC(CRC'+N)^{-1}C)e_k \\
e_{k+1} = A(I-RC(CRC'+N)^{-1}C)e_k
\end{align*}
А отсюда легко получить, что
$$
\tilde e_k = (A-RC(CRC'+N)^{-1}CA)\tilde e_k
$$
Завершим главу утверждением.
\begin{stm}
При выполнении условия утверждения (1) $\lim\limits
_{k\to\infty}\tilde e_k=0$
\end{stm}